Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是橢圓上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且，，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)作兩條相互垂直的直線(xiàn)分別交橢圓于和，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）[].

【解析】

試題（1）根據(jù)橢圓幾何性質(zhì)以及定義得a，再根據(jù)離心率得c，解得b，（2）設(shè)直線(xiàn)方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式得；再根據(jù)分式函數(shù)求值域，即得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）連接，由知直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性知，

由橢圓的定義知，∴，

由題知，∴，∴，

故橢圓的方程為．

（Ⅱ）①當(dāng)直線(xiàn)有一條斜率不存在時(shí)，．

②當(dāng)斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)方程為，.

聯(lián)立方程，得，消去整理得．

．

= =．

把代入上式，得，

，

設(shè)，，，

設(shè)=，，

令，則，=（），

∴，∴，

．

綜上，的取值范圍是[].