Question

【題目】已知雙曲線過點(3，－2)且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點．

(1)求雙曲線的標準方程；

(2)若點M在雙曲線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，且|MF1|＋|MF2|＝6，試判別△MF1F2的形狀．

Answer 1

【答案】（1）； （2）鈍角三角形.

【解析】

(1)設(shè)雙曲線方程為，由題得且c=，解方程組即得雙曲線的標準方程.(2) 不妨設(shè)M點在右支上，則有|MF1|－|MF2|＝2 ，求得|MF1|＝4，|MF2|＝2，|F1F2|＝2，再利用余弦定理判定△MF1F2為鈍角三角形．

(1)橢圓方程可化為，焦點在x軸上，且c＝，

故設(shè)雙曲線方程為，

則有解得a2＝3，b2＝2.

所以雙曲線的標準方程為.

(2)不妨設(shè)M點在右支上，

則有|MF1|－|MF2|＝2 ，

又|MF1|＋|MF2|＝6，

故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，

又|F1F2|＝2，

因此在△MF1F2中，|MF1|邊最長，而

cos ∠MF2F1＝ ，

所以∠MF2F1為鈍角，故△MF1F2為鈍角三角形．