Question

（本小題滿分12分）
已知圓和直線，直線，都經過圓C外定點A(1，0)．
（Ⅰ）若直線與圓C相切，求直線的方程；
（Ⅱ）若直線與圓C相交于P，Q兩點，與交于N點，且線段PQ的中點為M，
求證:為定值．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）設直線方程為，由 得由 得
∴
為定值

試題分析：（Ⅰ）①若直線的斜率不存在，即直線是，符合題意．    1分
②若直線斜率存在，設直線為，即．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線的距離等于半徑2，
即： ,解之得 ．     5分
所求直線方程是，．     6分
（Ⅱ）解法一：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,
可設直線方程為
由 得．     8分
再由 
得．
∴    得．      12分
∴  
為定值．    14分
解法二：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設直線方程為
由 得．     8分
又直線CM與垂直，
由 得．    10分
∴  
，為定值．     14分
解法三：用幾何法，如圖所示，△AMC∽△ABN，則，
可得，是定值．
點評：當直線與圓相切時常用圓心到直線的距離等于圓的半徑，當直線與圓相交時常用圓心到直線的距離，弦長一半，圓的半徑構成的直角三角形三邊勾股定理關系；第一問在求直線方程時需注意分直線斜率存在與不存在兩種情況討論，過直線外一點做圓的切線有2條，不要丟解