Question

【題目】已知數列、，其中， ，數列滿足,，數列滿足．

（1）求數列、的通項公式；

（2）是否存在自然數，使得對于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；

（3）若數列滿足，求數列的前項和．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在， ；（3）．

【解析】試題分析：

（1）根據題設條件用累乘法能夠求出數列{an}的通項公式．b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首項為2，公比為2的等比數列，由此能求出{bn}的通項公式．（2）bn=2n．假設存在自然數m，滿足條件，先求出，將問題轉化成可求得的取值范圍；（3）分n是奇數、n是偶數兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數的形式。

試題解析：

（1）由，即．

又，所以

.

當時，上式成立，

因為，所以是首項為2，公比為2的等比數列，

故.

(2) 由（1）知，則

.

假設存在自然數，使得對于任意有恒成立，即恒成立，由，解得．

所以存在自然數，使得對于任意有恒成立，此時， 的最小值為16.

（3）當為奇數時，

；

當為偶數時，

.

因此．