Question

【題目】一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是；從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是 ．
（Ⅰ）若袋中共有10個球，
（i）求白球的個數；
（ii）從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為ξ，求隨機變量ξ的數學期望Eξ．
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于 ． 并指出袋中哪種顏色的球個數最少．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i）記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件A，
設袋中白球個數為x，則P（A）=1﹣=，
解得x=5，∴白球個數是5個．
（ii）隨機變量ξ的取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）===，
P（ξ=1）===，
P（ξ=2）===
P（ξ=3）===，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P

Eξ=x0+x2+x3=．
證明：（Ⅱ）設袋中有n個球，其中y個黑球，
由題意，得y=n，
∴2y＜n，2y≤n﹣1，
∴，
記“從袋中任意取出兩個球，至少有1個黑球”為事件B，
則P（B）=，
∴白球的個數比黑球多，白球個數多于n，黑球個數少于n，
故袋中紅球個數最少．
【解析】（Ⅰ）設袋中白球個數為x，由對立事件概率計算公式得：1﹣= ， 由此能求出白球個數．
（ii）隨機變量ξ的取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的數學期望Eξ
（Ⅱ）設袋中有n個球，其中y個黑球，由題意，得y=n，從而2y＜n，2y≤n﹣1，進而 ， 由此能證明從袋中任意摸出2個球，至少得到1個黑球的概率不大于 ． 并得到袋中哪種顏色的球個數最少。