Question

如圖，拋物線C₁：y²=8x與雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F₂，點A是曲線C₁，C₂在第一象限的交點，且|AF₂|=5．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）以F₁為圓心的圓M與雙曲線的一條漸近線相切，圓N：（x-2）²+y²=1，已知點P（1，

3

），過點P作互相垂直且分別與圓M圓N相交的直線l₁，l₂，設l₁被圓M截得的弦長為s，l₂被圓N截得的弦長為t，

s

t

是否為定值？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線C₁的焦點為F₂（2，0），得出雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），再設A（x₀，y₀）在拋物線C₁上，根據|AF₂|=5結合拋物線的定義得，x₀、y₀的值，最后根據雙曲線定義結合點A在雙曲線上，得a=1，可求雙曲線方程；
（2）設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，根據雙曲線的漸近線方程和直線與圓相切的條件，得圓M的半徑為r=

2 3

1+( 3 )2

=

3

，從而求出圓M的方程．過點P作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l₁和l₂，設其中的一條斜率為k，則另一條的斜率為-

1

k

，利用直線的點斜式方程，將直線l₁和l₂的方程與圓M方程聯解，可以得出弦長為s和t關于k的表達式，將其代入

s

t

進行化簡，可以得到定值

3

．

解答：解：（1）∵拋物線C₁：y²=8x的焦點為F₂（2，0），
∴雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），
設A（x₀，y₀）在拋物線C₁：y²=8x上，且|AF₂|=5，
由拋物線的定義得，x₀+2=5，∴x₀=3，∴y₀²=8×3，∴y0=±2

6

，
∴|AF1|=

(3+2)2+(±2 6 )2

=7，
又∵點A在雙曲線上，由雙曲線定義得，2a=|7-5|=2，∴a=1，
∴雙曲線的方程為：x2-

y2

3

=1．
（2）

s

t

為定值．下面給出說明．
設圓M的方程為：（x+2）²+y²=r²，雙曲線的漸近線方程為：y=±

3

x，
∵圓M與漸近線y=±

3

x相切，∴圓M的半徑為r=

2 3

1+( 3 )2

=

3

，
故圓M：（x+2）²+y²=3，
顯然當直線l₁的斜率不存在時不符合題意，
設l₁的方程為y-

3

=k(x-1)，即kx-y+

3

-k=0，
設l₂的方程為y-

3

=-

1

k

(x-1)，即x+ky-

3

k-1=0，
∴點M到直線l₁的距離為d1=

|3k- 3 |

1+k2

，點N到直線l₂的距離為d2=

| 3 k-1|

1+k2

，
∴直線l₁被圓M截得的弦長s=2

3-( 3k- 3 1+k2 )2

=2

6 3 k-6k2 1+k2

，
直線l₂被圓N截得的弦長t=2

1-( 3 k-1 1+k2 )2

=2

2 3 k-2k2 1+k2

，
∴

s

t

=

6 3 k-6k2 2 3 k-2k2

=

6( 3 k-k2) 2( 3 k-k2)

=

3

，
故

s

t

為定值

3

．

點評：本題考查了圓方程、直線方程、圓錐曲線的基本量和圓與圓錐曲線的關系等知識點，屬于難題．解決本題一方面要求對圓方程、直線方程、圓錐曲線的方程有熟悉的理解，另一方面要求對含有字母的代數式化簡、計算要精確到位，具有較強的綜合性．