Question

如圖，拋物線C₁：x²=4y，C₂：x²=-2py（p＞0），點M（x，y）在拋物線C₂上，過M作C₁的切線，切點為A，B（M為原點O時，A，B重合于O），當x=1-時，切線MA的斜率為-．
（I）求P的值；
（II）當M在C₂上運動時，求線段AB中點N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點為O）．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導數的幾何意義，先表示出切線方程，再由M在拋物線上及在直線上兩個前提下，得到相應的方程，解出p值．
（II）由題意，可先設出A，B兩個端點的坐標及中點的坐標，再由中點坐標公式建立方程，直接求解出中點N的軌跡方程
解答：解：（I）因為拋物線C₁：x²=4y上任意一點（x，y）的切線斜率為y′=，且切線MA的斜率為-，所以A點的坐標為（-1，），故切線MA的方程為y=-（x+1）+
因為點M（1-，y）在切線MA及拋物線C₂上，于是
y=-（2-）+=-     ①
y=-=-          ②
由①②解得p=2
（II）設N（x，y），A（x₁，），B（x₂，），x₁≠x₂，由N為線段AB中點知x=  ③，y==    ④
切線MA，MB的方程為y=（x-x₁）+，⑤；y=（x-x₂）+⑥，
由⑤⑥得MA，MB的交點M（x，y）的坐標滿足x=，y=
因為點M（x，y）在C₂上，即x²=-4y，所以x₁x₂=-⑦
由③④⑦得x²=y，x≠0
當x₁=x₂時，A，B丙點重合于原點O，A，B中點N為O，坐標滿足x²=y
因此中點N的軌跡方程為x²=y
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，此類題運算較繁，解答的關鍵是合理引入變量，建立起相應的方程，本題探索性強，屬于能力型題