Question

如圖，拋物線C₁：x²=2py（p＞0）的焦點為F，橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

3

2

，C₁與C₂在第一象限的交點為P（

3

，

1

2

）
（1）求拋物線C₁及橢圓C₂的方程；
（2）已知直線l：y=kx+t（k≠0，t＞0）與橢圓C₂交于不同兩點A、B，點M滿足

AM

+

BM

=

0

，直線FM的斜率為k₁，試證明k•k₁＞

-1

4

．

Answer 1

分析：（1）借助于拋物線過點P，先求拋物線方程，再利用離心率e=

3

2

，求橢圓方程；
（2）點M滿足

AM

+

BM

=

0

，等價于點M為線段AB的中點，從而表達出斜率，再進行證明．

解答：解：（1）將P（

3

，

1

2

）代入x²=2py得p=3，∴拋物線C₁的方程為x²=6y，焦點F（0，

3

2

）
把P（

3

，

1

2

）代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得

3

a2

+

1

4b2

=1，又e=

3

2

，∴a=2，b=1故橢圓C₂的方程為

x2

4

+

y2

1

=1
（2）由直線l：y=kx+t與

x2

4

+

y2

1

=1聯立得（1+4k²）x²+8ktx+4（t²-1）=0，△＞0得1+4k²＞t²
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x1+x2=

-8kt

1+4k2

由題意點M為線段AB的中點，設M（x_M，y_M），
∴xM=

-4kt

1+4k2

，yM=

t

1+4k2

，
∴k1=

2t-3(1+4k2)

-8kt

∴kk1＞

3t2-2t

8t

=

3t -2

8

＞-

1

4

點評：本題主要考查圓錐曲線相交，求圓錐曲線問題，利用了待定系數法，同時考查了直線與曲線相交問題，利用設而不求法進行證明．