Question

已知橢圓與直線相交于兩點．
（1）若橢圓的半焦距，直線與圍成的矩形的面積為8，
求橢圓的方程；
（2）若（為坐標原點），求證：；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率滿足，求橢圓長軸長的取值范圍．

Answer 1

（1）
（2）結合韋達定理來加以證明，聯立方程組得到。
（3）

試題分析：解：（1）由已知得：    解得          3分
所以橢圓方程為：            4分
（2）設，由，
得
由，得
                   7分
由，得              8分
∴    
即，故            9分
（3）由（2）得   由，得，
∴                        12分
由得，∴
所以橢圓長軸長的取值范圍為       14分
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于基礎題。