Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，直線，過動點作于點，的平分線交軸于點，且，記動點的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點作兩條直線，分別交曲線于兩點（異于點）．當直線的斜率之和為2時，直線是否恒過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點，

【解析】

（1）設，由題得，即得，即得解；

（2）當直線的斜率存在時，設其方程為，聯立直線和橢圓方程得到韋達定理，根據得到，即得直線經過的定點；當直線的斜率不存在時，直線也經過定點.即得解.

解：（1）設，由已知，，

，，，

，即，

化簡得，曲線的方程為．

（2）當直線的斜率存在時，設其方程為，

且設，．

由得，

由已知，，，

由已知，得，

整理得，

，整理得．

，，

直線的方程為，

直線過定點．

當直線的斜率不存在時，設其方程為，且設，，

其中．

由已知，得，

，

直線的方程為，此時直線也過定點．

綜上所述，直線恒過定點．