Question

對?a、b∈R，定義運算“?”、“⊕”為：a?b=

a (a≥b)  b (a＜b)

a⊕b=

a (a＜b)  b (a≥b)

給出下列各式
①（sinx?cosx）+（sinx⊕cosx）=sinx+cosx，②（2^x?x²）-（2^x⊕x²）=2^x-x²，
③（sinx?cosx）•（sinx⊕cosx）=sinx•cosx，④（2^x?x²）÷（2^x⊕x²）=2^x÷x²．
其中等式恒成立的是

 

．（將所有恒成立的等式的序號都填上）

Answer 1

分析：利用新定義的函數概念化簡所給式子的左邊得出：①當sinx≥cosx時，當sinx＜cosx時，證得①成立；同理③也成立；②取特殊值：當x=2時，證得：2^x?x²）-（2^x⊕x²）=2^x-x²≠2^x-x²，故錯；同理④錯．

解答：解：①當sinx≥cosx時，sinx?cosx=sinx，sinx⊕cosx=cosx，故（sinx?cosx）+（sinx⊕cosx）=sinx+cosx，
當sinx＜cosx時，sinx?cosx=cosx，sinx⊕cosx=sinx，故（sinx?cosx）+（sinx⊕cosx）=sinx+cosx，故正確；
同理③也成立；
②當x=2時，2^x?x²=x²，2^x⊕x²=2^x
∴（2^x?x²）-（2^x⊕x²）=x²-2^x≠2^x-x²，故錯；
同理④錯．
故答案為：①③．

點評：當遇到函數創新應用題型時，處理的步驟一般為：化簡解析式，求函數解析式的最簡形式．