Question

【題目】如圖，已知圓與軸交于兩點（在的上方），直線．

（1）當時，求直線被圓截得的弦長；

（2）若，點為直線上一動點（不在軸上），直線的斜率分別為，直線與圓的另一交點分別．

①問是否存在實數，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

②證明：直線經過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2）①存在的值為；②見證明

【解析】

（1）利用點到直線的距離和勾股定理可得；（2）①利用斜率公式求得k1，k2，代入等式k1＝mk2，可解得；②聯立直線CB與圓O解得P的坐標，同理可得Q坐標，再根據斜率公式求得PQ的斜率，然后利用點斜式求得直線PQ方程，可得定點．

（1）當時，直線的方程為，

圓心到直線的距離，

所以，直線被圓截得的弦長為；

（2）若，直線的方程為，

①設，則，，

由可得，所以存在的值為；

②證明：直線方程為，與圓方程聯立得：，

所以，，解得或，

所以，

同理可得，即

所以

所以直線的方程為，

即，所以，直線經過定點.