Question

【題目】已知函數且

（Ⅰ）當時，求函數的圖像在點處的切線方程；

（Ⅱ）求函數在區間上的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時,函數在區間上的最小值為； 當或時,函數在區間上的最小值為； 當或時,函數在區間上的最小值為；當時,函數在區間上的最小值為．

【解析】分析：(Ⅰ)當時,, 據此可得切線方程為

(Ⅱ)由題意可得, 分類討論有：當時,函數在區間上的最小值為； 當或時,函數在區間上的最小值為； 當或時,函數在區間上的最小值為；當時,函數在區間上的最小值為．

詳解：(Ⅰ)當時,,

則切線的斜率為又,

所以函數的圖象在處的切線方程為,即

(Ⅱ)因為,

若,令,得；令,得；

故函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增．

當時,函數在區間上單調遞減,

故函數在區間上的最小值為；

當時,函數在區間上單調遞增,

故函數在區間上的最小值為；

當時,函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,

故函數在區間上的最小值為；

若, 令, 得；令,得；

故函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增．

當,即時,函數在區間上單調遞減,

故函數在區間上的最小值為；

當,即 時,函數在區間上單調遞增,

故函數在區間上的最小值為；

當,即時,函數在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,

故函數在區間上的最小值為.

綜上,當時,函數在區間上的最小值為；

當或時,函數在區間上的最小值為；

當或時,函數在區間上的最小值為；

當時,函數在區間上的最小值為．