Question

【題目】如圖，在南北方向有一條公路，一半徑為100m的圓形廣場(chǎng)（圓心為O）與此公路一邊所在直線l相切于點(diǎn)A．點(diǎn)P為北半圓弧（弧APB）上的一點(diǎn)，過(guò)P作直線l的垂線，垂足為Q．計(jì)劃在△PAQ內(nèi)（圖中陰影部分）進(jìn)行綠化．設(shè)△PAQ的面積為S（單位：m2）．
（1）設(shè)∠BOP=α（rad），將S表示為α的函數(shù)；
（2）確定點(diǎn)P的位置，使綠化面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：AQ=100sinα，PQ=100+100cosα，α∈（0，π），

則△PAQ的面積

=5000（sinα+sinαcosα），（0＜α＜π）

（2）解：S/=5000（cosα+cos2α﹣sin2α）

=5000（2cos2α+cosα﹣1）

=5000（2cosα﹣1）（cosα+1），

令 ，cosα=﹣1（舍去），此時(shí) ．

當(dāng) 關(guān)于α為增函數(shù)；

當(dāng) 關(guān)于α為減函數(shù)．

∴當(dāng) 時(shí)， （m2），此時(shí)PQ=150m．

答：當(dāng)點(diǎn)P距公路邊界l為150m時(shí)，綠化面積最大，

【解析】（1）若∠BOP=α，則P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）中，x=AQ=100sinα，y=PQ=100+100cosα，α∈（0，π），根據(jù)三角形面積公式，我們易將S表示為α的函數(shù)．（2）由（1）中結(jié)論，我們可利用導(dǎo)數(shù)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值，即最大綠化面積．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)．