Question

【題目】如圖，在四棱錐 中， 底面 ，底面 為直角梯形， ， ， ， 為 的中點，平面 交 于 點.、

（1）求證： ；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為 ， 分別為 ， 的中點， ，所以 .

因為 ，所以 .

因為 底面 ，所以 .

因為 ，所以 平面 .

所以 .

因為 ，所以 平面

因為 平面 ，所以 .

（2）證明：如圖，以 為坐標原點，建立空間直角坐標系 .

則 ， ， ， ， .

由（1）可知， 平面 ，

所以平面 的法向量為 .

設平面 的法向量為

因為 ， ，

所以 即

令 ，則 ， ，

所以 ，所以

所以二面角 的余弦值 .

【解析】(1)首先根據題意利用線面垂直的判定定理可證明 P B ⊥ 平面 A D N M，然后由線面垂直得到線線垂直。(2)由題意以 A 為坐標原點，建立空間直角坐標系 A x y z，分別求出平面 A D M N 和平面 P D N 的法向量，再根據兩個法向量的夾角即為二面角的平面角的大小結合向量的數量積公式即可求出夾角的余弦值。
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定和直線與平面垂直的性質的相關知識點，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想；垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．