Question

【題目】已知數列{an}滿足an＞0，a1=2，且（n+1）an+12=nan2+an（n∈N*）．
（Ⅰ）證明：an＞1；
（Ⅱ）證明： + +…+ ＜ （n≥2）．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由題意得（n+1）an+12﹣（n+1）=nan2﹣n+an﹣1， ∴（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）=（an﹣1）（nan+n+1），
由an＞0，n∈N*，
∴（n+1）（an+1+1）＞0，nan+n+1＞0，
∴an+1﹣1與an﹣1同號，
∵a1﹣1=1＞0，
∴an＞1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故（n+1）an+12=nan2+an＜（n+1）an2 ，
∴an+1＜an ， 1＜an≤2，
又由題意可得an=（n+1）an+12﹣nan2 ，
∴a1=2a22﹣a12 ， a2=3a32﹣2a22 ， …，an=（n+1）an+12﹣nan2 ，
相加可得a1+a2+…+an=（n+1）an+12﹣4＜2n，
∴an+12≤ ，即an2≤ ，n≥2，
∴ ≤2（ + ）≤2（ ﹣ ）+（ ﹣ + ），n≥2，
當n=2時， = ＜ ，
當n=3時， + ≤ ＜ ＜ ，
當n≥4時， + +…+ ＜2（ + + + ）+（ + + ﹣ ）=1+ + + + + ＜ ，
從而，原命題得證
【解析】（Ⅰ）根據數列的遞推關系可得（n+1）（an+1+1）（an+1﹣1）=（an﹣1）（nan+n+1），再根據an＞0，可得an+1﹣1與an﹣1同號，問題得以證明，（Ⅱ）先判斷出1＜an≤2，再得到an2≤ ，n≥2，利用放縮法得到 ≤2（ ﹣ ）+（ ﹣ + ），再分別取n=2，3，以及n≥4即可證明．
【考點精析】通過靈活運用數列的通項公式，掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式即可以解答此題．