Question

【題目】如圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，棱PD與EC均垂直于底面ABCD，PD=2EC，N為PB的中點，求證：
（1）平面EBC∥平面PDA；
（2）NE⊥平面PDB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴EC∥PD，

又PD平面PDA，EC平面PDA，

∴EC∥平面PDA，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴BC∥AD，又AD平面PDA，BC平面PDA，

∴BC∥平面PDA，

∵EC平面EBC，BC平面EBC，EC∩BC=C，

∴平面EBC∥平面PDA．

（2）證明：設AC與BD相交于點O，連接NO，

∵四邊形ABCD為正方形，∴O為BD的中點，又N為PB的中點，

∴NO∥PD且NO= PD，

又由（1）得EC∥PD，且 ，

∴NO∥EC且NO=EC，∴四邊形NOCE為平行四邊形，

∴NE∥OC，即NE∥A，C

∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴AC⊥PD，

又DB⊥AC，PD∩BD=D

∴AC⊥平面PBD，又NE∥AC，

∴NE⊥平面PDB．

【解析】（1）由線面垂直性質得EC∥PD，由四邊形ABCD為正方形，得BC∥AD，由此能證明平面EBC∥平面PDA．（2）推導出四邊形NOCE為平行四邊形，從而AC⊥PD，再由DB⊥AC，能證明NE⊥平面PDB．