Question

【題目】如圖，在三棱柱中，四邊形是菱形，四邊形是正方形，，，，點為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）(1)連接AF，與CD交于點H，連接GH，易得BF∥GH，從而得證；
（2）以D為原點,直線DG，DE，DF分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,通過求面BCD的一個法向量為和面BEF的一個法向量為，利用＝即可得解.

(1)連接AF，與CD交于點H，連接GH，

則GH為△ABF的中位線，

所以BF∥GH，

又BF平面CDG，GH平面CDG，

所以BF∥平面CDG.

（2）由題意可知，直線DG，DE，DF兩兩垂直，

以D為原點,直線DG，DE，DF分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則,,,,,

,,，.

設平面BCD的一個法向量為＝,則有,得,

取,得,所以＝,

設平面BEF的一個法向量為＝,則有,得,

取,得,所以＝,

設平面BCD與平面BEF所成銳二面角為

則＝,

所以平面BCD與平面BEF所成銳二面角的余弦值為.