Question

【題目】已知直線交拋物線于兩點，過點分別作拋物線的切線，若兩條切線互相垂直且交于點.

（1）證明：直線恒過定點；

（2）若直線的斜率為1，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）由得，利用導數可得直線的斜率為，直線的斜率為，結合，可得，即，從而利用韋達定理可得，則直線恒過定點；（2）求出直線的方程為，直線的方程為，解得點的坐標為，結合（1）利用韋達定理可得結果.

（1）證明：易知直線的斜率存在，設直線，，.

由得，

所以，.

由，得，所以，

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

因為，所以，即，

所以，得，

所以直線，故直線恒過定點.

（2）由（1）得直線的斜率為1時，，.

直線的方程為，即，

同理直線的方程為，即，

上面兩式聯立得，，所以點的坐標為，即.