Question

【題目】已知函數.

（1）若在處取得極小值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）求證：當時，.

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）求函數的導數，由求之即可；（2）分、、分別討論函數的單調性，由單調性求出函數在區間上的最小值，由求之即可；（3）由（2）知令，當時，，（當且僅當時取“”）當時，，令代入相加即可.

試題解析： （1）∵的定義域為，，

∵在處取得極小值，∴，即.

此時，經驗證是的極小值點，故.

（2）∵，

①當時，，∴在上單調遞減，

∴當時，矛盾.

②當時，，

令，得；，得.

（ⅰ）當，即時，

時，，即遞減，∴矛盾.

（ⅱ）當，即時，

時，，即遞增，∴滿足題意.

綜上，.

（3）證明：由（2）知令，當時，，

（當且僅當時取“”）

∴當時，.

即當，有

.