Question

【題目】（本小題滿分14分）

在四棱錐P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E為PA的中點．

（1）求證：BE∥平面PCD；

（2）求證：平面PAB⊥平面PCD．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）要證明BE∥平面PCD，就是要在平面PCD上找到一條與BE平行的直線，由判定定理，從已知，又是中點，因此我們取中點，可得，且，從而有且，于是是平行四邊形，，平行線找到了；（2）要證明平面PAB⊥平面PCD，而題中已知PA⊥PD，由面面垂直的性質，中一定有一條直線與其中一個平面垂直，由已知，因此，再由（1），這樣結合就有，于是有面面垂直.

試題解析：（1）取PD的中點F，連接EF，CF．

因為E為PA的中點，所以EF∥AD，EF＝AD．

因為BC∥AD，BC＝AD，

所以EF∥BC，EF＝BC．

所以四邊形BCFE為平行四邊形．

所以BE∥CF． 4分

因為BE平面PCD，CF平面PCD，

所以BE∥平面PCD． 6分

（2）因為AB＝PB，E為PA的中點，所以PA⊥BE．

因為BE∥CF，所以PA⊥CF． 9分

因為PA⊥PD，PD平面PCD，CF平面PCD，PD∩CF＝F，

所以PA⊥平面PCD． 12分

因為PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD． 14分