Question

【題目】長方體中， ， 分別是， 的中點， ， ．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求證：平面平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得二面角為，若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析；（Ⅲ）線段上存在一點，使得二面角為，且.

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證與平面平行，就是要證與平面內的一條直線平行，由長方體的特征，過作交于點，可證與平行且相等，從而得，得線面平行；

（Ⅱ）要證面面垂直，首先在矩形中，由已知可得，因此再由長方體一性質有，從而得與平面垂直，于是有面面垂直；

（Ⅲ）以為原點， 、、所在直線為軸、軸、軸建立坐標系，寫出各點坐標，設（），從而得，求出二面角的兩個面的法向量，由法向量的夾角余弦的絕對值為可求得值，從而確定Q點是否存在．

試題解析：

（Ⅰ）證明：過作交于，連接．

∵是的中點，∴， ，

又∵是中點，∴， ，

∴， ， 是平行四邊形，

∴，

又在平面內，∴平面．

（Ⅱ）證明：∵平面， 在平面內，

∴，

在矩形中， ，

∴，

∴是直角三角形，∴，

∴平面，

∵在平面內，∴平面平面．

（Ⅲ）解：以為原點， 、、所在直線為軸、軸、軸建立坐標系，則 ， ， ．

平面的法向量為，

設，（ ），則，

設平面的法向量為，

則令，則，

∵二面角為，

∴，

由于，∴，

∴線段上存在一點，使得二面角為，且．