Question

【題目】已知， .

（1）求函數的極值；

（2）若函數在區間內有兩個零點，求的取值范圍；

（3）求證：當時， .

Answer 1

【答案】（1）， 無極大值；（2）；（3）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數進行求導，令和，結合極值的定義得結果；（2）由對函數求導得到函數在上單調遞減， 單調遞增，要想有兩個零點結合數形結合思想可得等價于解得結果；（3）問題等價于，由（1）知的最小值為，令（）使得成立即可.

試題解析：（1）

∴

由得，由，得

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

∴， 無極大值.

（2）

∴

又，易得在上單調遞減，在上單調遞增，

要使函數在內有兩個零點，

需，即，∴，

∴，即的取值范圍是.

（3）問題等價于

由（1）知的最小值為

令（）

∴

易知在上單調遞增， 上單調遞減

∴

又

∴，

故當時， 成立