Question

【題目】如圖,矩形和梯形所在平面互相垂直， ， , .

（Ⅰ）求證： 平面;

（Ⅱ）當的長為何值時,二面角的大小為60°．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=，BE=3，由勾股定理，我們易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，則DC⊥EF，進而由線面垂直的判定定理得到答案．

（II）以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系C﹣xyz，設AB=a，分別求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夾角公式，由二面角A﹣EF﹣C的大小為60°，構造關于a的方程，解方程求出a值．

試題解析：

（1）證明：在中，，，，，

所以.又因為在中，，所以.

由已知條件知，平面，所以.

又，所以平面

（2）如圖，以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別作為x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系C-xyz．

設AB=a（a >0），則C(0,0,0)，A(,0,a)，B(，0，0），E(， 3，0），F（0，4，0）．從而

設平面AEF的法向量為，由得，

取x=1，則，即.

不妨設平面EFCB的法向量為，

由條件，得，

解得．所以當時，二面角A-EF-C的大小為60°．