Question

【題目】給定一個數列{an}，在這個數列里，任取m(m≥3，m∈N*)項，并且不改變它們在數列{an}中的先后次序，得到的數列稱為數列{an}的一個m階子數列．已知數列{an}的通項公式為an＝ (n∈N*，a為常數)，等差數列a2，a3，a6是數列{an}的一個3階子數列．

（1）求a的值；

（2）等差數列b1，b2，…，bm是{an}的一個m (m≥3，m∈N*) 階子數列，且b1＝ (k為常數，k∈N*，k≥2)，求證：m≤k＋1；

（3）等比數列c1，c2，…，cm是{an}的一個m (m≥3，m∈N*) 階子數列，

求證：c1＋c2＋…＋cm≤2－ ．

Answer 1

【答案】（1）a＝0（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）利用等差數列的定義及其性質即可得出；（2）設等差數列的公差為，由，可得，再利用等差數列的通項公式及其不等式的性質即可證明；（3）設（），等比數列的公比為，由，可得，從而（， ），再利用等比數列的前項和公式、函數的單調性即可得出.

試題解析：（1）因為成等差數列，所以．

又因為， ， ，

代入得，解得．

（2）設等差數列的公差為，因為，所以，

從而，所以．

又因為，所以，即，所以

又因為，所以．

（3）設，等比數列的公比為，因為，所以，從而（， ）．

所以，

設函數，（ ， ）．

當時，函數為單調增函數，因為當，

所以，所以，即．