Question

如圖過拋物線C1：x2=4y的對稱軸上一點P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，點Q是P關于原點的對稱點，以P，Q為焦點的橢圓為C₂．
（1）求證：x₁x₂為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C₁，C₂以及直線l有公共點，求C₂的方程；
（3）設

AP

=λ

PB

，若

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，求證：λ=μ

Answer 1

分析：（1）設直線l的方程為y=kx+m，聯立

x2=4y y=kx+m

，得x²-4kx-4m=0，由此能夠證明x₁x₂=-4m．
（2）由l的方程為x-2y+4=0，知m=2，由點Q是P關于原點的對稱點，知P（0，2），Q（0，-2），聯立

x2=4y x-2y+4=0

，得A（-2，1），B（4，4），由C₁，C₂以及直線l有公共點，知C₁，C₂以及直線l的公共點為A（-2，1），由此能求出橢圓為C₂的方程．
（3）由

AP

=λ

PB

，知

x1

x2

=-λ，因為Q(0，-m)，

QA

=(x1，y1+m)，

QB

=(x2，y2+m)所以

QA

-μ

QB

=(x1-μx2，y1-μy2+(1-μ)m)，由此能夠證明λ=μ．

解答：解：（1）設直線l的方程為y=kx+m，
聯立

x2=4y y=kx+m

，得x²-4kx-4m=0，
∵直線l與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
∴x₁x₂=-4m．
（2）∵l的方程為x-2y+4=0，∴m=2，
∵點Q是P關于原點的對稱點，
∴P（0，2），Q（0，-2），
聯立

x2=4y x-2y+4=0

，得A（-2，1），B（4，4），
∵C₁，C₂以及直線l有公共點，
∴C₁，C₂以及直線l的公共點為A（-2，1），
∵P，Q為焦點的橢圓為C₂，∴設橢圓為C₂的方程為

x2

a2-4

+

y2

a2

 =1．
由C₁，C₂以及直線l的公共點為A（-2，1），
知2a=

4+1

+

4+9

=

5

+

13

，
∴a2=

18+2 65

4

，
∴橢圓為C₂的方程為

2x2

1+ 65

+

2y2

9+ 65

=1．
（3）由

AP

=λ

PB

，則

x1

x2

=-λ，
因為Q(0，-m)，

QA

=(x1，y1+m)，

QB

=(x2，y2+m)
所以

QA

-μ

QB

=(x1-μx2，y1-μy2+(1-μ)m)，

QP

=(0，2m)，

QP

⊥(

QA

-μ

QB

)，
∴2m[y₁-μy₂+（1-μ）m]=0，
從而

x 2 1

4

-μ

x 2 2

4

+(1-μ)m=0，
即

x

2 1

-μ

x

2 2

+4(1-μ)m=0

x

2 1

-μ

x

2 2

-(1-μ)x1x2=0，

x1

x2

-μ

x2

x1

-(1-μ)=0，
故

x1

x2

=-μ或

x1

x2

=-1（舍去）
故λ=μ．

點評：本題考查x₁x₂為定值的證明，求橢圓C₂的方程和求證：λ=μ．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．