Question

（本題滿分12分）
已知直線與曲線交于不同的兩點，為坐標原點．
（1）若，求證：曲線是一個圓；
（2）若，當且時，求曲線的離心率的取值范圍．

Answer 1

（1）設直線與曲線的交點為∴
在上∴，兩式相減得∴ 即： ∴曲線是一個圓  
（2）

試題分析：（1）證明：設直線與曲線的交點為

∴ 即：
∴                         ……………………2分
在上
∴，
∴兩式相減得：         ……………………4分
∴ 即：                  
∴曲線是一個圓                           ……………………6分
（2）設直線與曲線的交點為，

∴曲線是焦點在軸上的橢圓                     

∴ 即：                  
將代入整理得：

∴，      ……………………8分
在上   ∴
又
∴
∴2
∴
∴
∴
∴
∴                 ……………………10分

∴
∴
                                   ……………………12分
點評：直線與橢圓相交時，常聯立方程利用韋達定理求解關于弦長，中點弦及垂直夾角等問題；求橢圓離心率的題目需要轉化出關于的方程或不等式