Question

（本小題滿分12分）已知直線經過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓的右頂點為，點和橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交于兩點。

（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求線段MN的長度的最小值；
（Ⅲ）當線段MN的長度最小時，在橢圓上是否存在這
樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數，若不存在，說明理由

Answer 1

(1)
(2) 線段的長度取最小值
（3）或

試題分析：（I）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為
故橢圓的方程為
（Ⅱ）直線AS的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而
由得0
設則得，從而
即又
由得

故
又
當且僅當，即時等號成立
時，線段的長度取最小值
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當取最小值時，
此時的方程為
要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。
設直線
則由解得或
點評：解決該試題的關鍵是利用已知中的性質得到其方程，同時能結合韋達定理來得到弦長，同時能結合直線方程和點到直線的距離得到探索性問題。