Question

【題目】已知m是一個給定的正整數(shù)，m≥3，設數(shù)列{an}共有m項，記該數(shù)列前i項a1 ， a2 ， …，ai中的最大項為Ai ， 該數(shù)列后m﹣i項ai+1 ， ai+2 ， …，am中的最小項為Bi ， ri=Ai﹣Bi（i=1，2，3，…，m﹣1）；
（1）若數(shù)列{an}的通項公式為 （n=1，2，…，m），求數(shù)列{ri}的通項公式；
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=1，r1=﹣2（i=1，2，…，m﹣1），求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）試構(gòu)造項數(shù)為m的數(shù)列{an}，滿足an=bn+cn ， 其中{bn}是公差不為零的等差數(shù)列，{cn}是等比數(shù)列，使數(shù)列{ri}是單調(diào)遞增的，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ 單調(diào)遞增，∴Ai=2i，Bi=2i+1，∴ri=Ai﹣Bi=2i﹣2i+1=﹣2i，1≤i≤m﹣1．
（2）解：根據(jù)題意可知，ai≤Ai，Bi≤ai+1，

因為ri=Ai﹣Bi=﹣2＜0，所以Ai＜Bi，

可得ai≤Ai＜Bi≤ai+1，即ai＜ai+1，

又因為i=1，2，3，…，m﹣1，所以{an}單調(diào)遞增，

則Ai=ai，Bi=ai+1，所以ri=ai﹣ai+1=﹣2，即ai+1﹣ai=2，1≤i≤m﹣1，

所以{an}是公差為2的等差數(shù)列，an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，1≤i≤m﹣1；

（3）解：構(gòu)造an=n﹣ ，其中bn=n，cn=﹣ ，

下證數(shù)列{an}滿足題意．

證明：因為an=n﹣ ，所以數(shù)列{an}單調(diào)遞增，

所以Ai=ai=i﹣ ，Bi=ai+1=i+1﹣ ，

所以ri=ai﹣ai+1=﹣1﹣ ，1≤i≤m﹣1，

因為ri+1﹣ri=[﹣1﹣ ]﹣[﹣1﹣ ]= ＞0，

所以數(shù)列{ri}單調(diào)遞增，滿足題意．

（說明：等差數(shù)列{bn}的首項b1任意，公差d為正數(shù)，同時等比數(shù)列{cn}的首項c1為負，公比q∈（0，1），這樣構(gòu)造的數(shù)列{an}都滿足題意．）

【解析】（1）由于 單調(diào)遞增，可得Ai=2i，Bi=2i+1，即可得出ri=Ai﹣Bi，1≤i≤m﹣1．（2）根據(jù)題意可知，ai≤Ai，Bi≤ai+1，因為ri=Ai﹣Bi=﹣2＜0，可得Ai＜Bi，可得ai≤Ai＜Bi≤ai+1，即ai＜ai+1，根據(jù)單調(diào)性即可得出Ai=ai，Bi=ai+1，可得ri=ai﹣ai+1=﹣2．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．（3）構(gòu)造an=n﹣ ，其中bn=n，cn=﹣ ，根據(jù)單調(diào)性可得：Ai=ai=i﹣ ，Bi=ai+1=i+1﹣ ，ri=ai﹣ai+1=﹣1﹣ ，1≤i≤m﹣1，通過作差證明數(shù)列{an}滿足題意即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比數(shù)列的通項公式（及其變式）(通項公式：)，還要掌握數(shù)列的通項公式(如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．