Question

【題目】已知數列的前項和為，且，其中.

（1）求及數列的通項公式；

（2）若，為整數，且對任意的，恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）； （2）5

【解析】

（1）將代入遞推公式，結合的值，即可求得的值；將所給條件式子遞推后，作差即可求得數列的通項公式；

（2）將代入數列的表達式即可求得的值，代入不等式可得的范圍；將數列的通項公式代入數列，結合放縮法即可求得數列的表達式，結合等比數列求和公式即可求得數列的前項和表達式，進而由不等式求得的最小值.

（1）當時，代入可得

，而，

所以解得；

，

當時，，兩式相減可得

，

又滿足上式，

，即為常數數列，

而

（2）當時，，

代入不等式可得，

.

當時，

.

.

故當時，對任意的，都有.

所以整數的最小值為5.