Question

【題目】（題文）已知函數.

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論函數的單調性；若存在極值點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）單調性見解析，

【解析】

試題分析：（1）由切線斜率就是切點導數值，易知；（2）求導，分正負兩類討論，得單調性，所以，解得的取值范圍為．

試題解析：

（Ⅰ）依題意，，所以，

因為與直線：垂直，得，解得．

（Ⅱ）因為．

當時，在上恒成立，所以的單調遞增區間為，無遞減區間；

當時，由，，解得；

由，，解得；

由，，解得；

此時的單調遞增區間為，的單調遞減區間為．

綜上所述，當時，的單調遞增區間為，無遞減區間；

當時，的單調遞增區間為，的單調遞減區間為．

若存在極值點，由函數的單調性知，且；

由，解得．

所以所求實數的取值范圍為．