Question

【題目】如圖,矩形中, , 分別為邊上的點,且,將沿折起至位置(如圖所示),連結,其中.

(Ⅰ) 求證: ；

(Ⅱ) 在線段上是否存在點使得?若存在,求出點的位置；若不存在,請說明理由.

(Ⅲ) 求點到的距離.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）連結EF，由翻折不變性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，由已知條件，利用勾股定理推導出PF⊥BF，PF⊥EF，由此能夠證明PF⊥平面ABED．
（Ⅱ）當Q為PA的三等分點（靠近P）時，FQ∥平面PBE．由已知條件推導出FQ∥BP，即可證明FQ∥平面PBE．
（Ⅲ）由PF⊥平面ABED，知PF為三棱錐P-ABE的高，利用等積法能求出點A到平面PBE的距離．

試題解析：

(Ⅰ)連結,由翻折不變性可知, , ,

在中, ,

所以

在圖中,易得,

在中, ,所以

又, 平面, 平面,所以平面.

(Ⅱ) 當為的三等分點(靠近)時, 平面.

證明如下:

因為, ,所以

又平面, 平面,所以平面.

（注：學生不寫平面,扣1分）

(Ⅲ) 由(Ⅰ)知平面,所以為三棱錐的高.

設點到平面的距離為,由等體積法得,

即,又,,

所以,即點到平面的距離為.