Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣4x+a+3，g（x）=mx+5﹣2m
（1）當a=﹣3，m=0時，求方程f（x）﹣g（x）=0的解；
（2）若方程f（x）=0在[﹣1，1]上有實數根，求實數a的取值范圍；
（3）當a=0時，若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=﹣3，m=0時，求方程f（x）﹣g（x）=0化為x2﹣4x﹣5=0，

解得：x=﹣1或x=5

（2）解：∵函數f（x）=x2﹣4x+a+3的對稱軸是x=2，

∴f（x）在區間[﹣1，1]上是減函數，

∵函數在區間[﹣1，1]上存在零點，則必有：

，即 ，解得﹣8≤a≤0．

故所求實數a的取值范圍為[﹣8，0]

（3）解：若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立，

只需函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）的值域的子集．

f（x）=x2﹣4x+3，x∈[1，4]的值域為[﹣1，3]，

下面求g（x）=mx+5﹣2m的值域．

①當m=0時，g（x）=5﹣2m為常數，不符合題意舍去；

②當m＞0時，g（x）的值域為[5﹣m，5+2m]，要使[﹣1，3][5﹣m，5+2m]，

需 ，解得m≥6；

③當m＜0時，g（x）的值域為[5+2m，5﹣m]，要使[﹣1，3][5+2m，5﹣m]，

需 ，解得m≤﹣3．

綜上，m的取值范圍為（﹣∞，﹣3]∪[6，+∞）

【解析】（1）直接把a=﹣3，m=0代入方程，求解一元二次方程得答案；（2）求出函數f（x）的對稱軸，得到f（x）在區間[﹣1，1]上是減函數，由函數在區間[﹣1，1]上存在零點得不等式組 ，求解不等式組得實數a的取值范圍；（3）把對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f（x1）=g（x2）成立轉化為函數y=f（x）的值域為函數y=g（x）的值域的子集，然后求g（x）的值域得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的零點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點．