Question

【題目】設函數f（x）= x2+ax﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）當a=1時，求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）當a＞1時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若對任意a∈（3，4）及任意x1 ， x2∈[1，2]，恒有 m+ln2＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞） 當a=1時，f（x）=x﹣lnx，則f′（x）=
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞1，∵x＞0，∴x＞1；
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，∵x＞0，∴0＜x＜1；
∴x=1時，函數f（x）取得極小值為1；
（Ⅱ）f′（x）=
當 ，即a=2時， ，f（x）在（0，+∞）上是減函數；
當 ，即a＞2時，令f′（x）＜0，得 或x＞1；令f′（x）＞0，得
當 ，即1＜a＜2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜1或x＞ ；令f′（x）＞0，得
綜上，當a=2時，f（x）在定義域上是減函數；
當a＞2時，f（x）在（0， ）和（1，+∞）上單調遞減，在（ ，1）上單調遞增；
當1＜a＜2時，f（x）在（0，1）和（ ，+∞）上單調遞減，在（1， ）上單調遞增；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a∈（3，4）時，f（x）在[1，2]上單調遞減
∴當x=1時，f（x）有最大值，當x=2時，f（x）有最小值
∴
∴對任意a∈（3，4），恒有
∴m＞
構造函數 ，則
∵a∈（3，4），∴
∴函數 在（3，4）上單調增
∴g（a）∈（0， ）
∴m≥ ．
【解析】（Ⅰ）確定函數的定義域，利用導數的正負，確定函數的單調性，從而可求函數的極值；（Ⅱ）求導函數f′（x）= ，分類討論，利用導數的正負，確定函數的單調性； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a∈（3，4）時，f（x）在[1，2]上單調遞減，從而可得 對任意a∈（3，4），恒有 ，等價于m＞ ，求出右邊函數的值域，即可求得結論．