Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分別是AC，PB的中點(diǎn)．

（1）證明：EF∥平面PCD；

（2）求證：面PBD⊥面PAC；

（3）若PA=AB，求PD與平面PAC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解（3）

【解析】

（1）作中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，通過求證四邊形為平行四邊形進(jìn)而求證；

（2）可結(jié)合正方形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)設(shè)法證明，進(jìn)而求證；

（3）連接，可證即為PD與平面PAC所成角的大小，通過幾何關(guān)系即可求解；

（1）如圖，作中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，

分別為中點(diǎn)，且，同理且，又底面為正方形，，

，為平行四邊形，，又平面，

平面，平面

（2）連接，底面為正方形，，又 PA⊥底面ABCD，平面，，，平面，又因平面，平面PBD⊥平面PAC；

（3）連接，由（2）可知，平面，也即平面，則即為PD與平面PAC所成角的大小，設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為，

則，，所以