Question

【題目】如圖，已知橢圓C：＋y2＝1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若不過點A的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且＝0，求證：直線l過定點，并求出該定點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）＋y2＝1（2）證明見解析，定點N.

【解析】

（1）利用直線AF與圓相切可求得a（圓心到直線的距離等于半徑），從而得橢圓方程；

（2）由＝0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，設直線AP的方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程可求得P點坐標，同理可得Q點坐標，寫出直線PQ方程，化簡后可知其所過定點．

（1）將圓M的一般方程x2＋y2－6x－2y＋7＝0化為標準方程為（x－3）2＋（y－1）2＝3，圓M的圓心為M（3,1），半徑為r＝.

由A（0,1），F（c,0）（c＝）得直線AF：＋y＝1，即x＋cy－c＝0.

由直線AF與圓M相切得＝.

所以c＝或c＝－（舍去）．所以a＝，

所以橢圓C的方程為＋y2＝1.

（2）證明：由＝0，知AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，

由A（0,1）可設直線AP的方程為y＝kx＋1，直線AQ的方程為y＝－x＋1（k≠0），

將y＝kx＋1代入橢圓C的方程＋y2＝1并整理，得（1＋3k2）x2＋6kx＝0，

解得x＝0或x＝－，

因此P的坐標為，即.

將上式中的k換成－，得Q.

所以直線l的方程為y＝·＋，

化簡得直線l的方程為y＝x－.

因此直線l過定點N.