Question

【題目】絕對值|x﹣1|的幾何意義是數軸上的點x與點1之間的距離，那么對于實數a，b，的幾何意義即為點x與點a、點b的距離之和.

（1）直接寫出與的最小值，并寫出取到最小值時x滿足的條件；

（2）設a1≤a2≤…≤an是給定的n個實數，記S=.試猜想：若n為奇數，則當x∈　　　　　　時S取到最小值；若n為偶數，則當x∈　　　　　　時，S取到最小值；（直接寫出結果即可）

（3）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）{}，[，]；（3）

【解析】

（1）根據絕對值的幾何意義，可得當且僅當x∈[1，2]時，|x﹣1|+|x﹣2|取最小值1；當且僅當x=2時，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值2；（2）歸納可得：若n為奇數，則當x∈{}時S取到最小值；若n為偶數，則當x∈[，]時，S取到最小值；（3）根據（2）中結論，可得x=時，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值.

（1）的最小值為1，當且僅當時，取最小值；

的最小值2，當且僅當x=2時，取最小值；

（2）設a1≤a2≤…≤an是給定的n個實數，記S=

歸納可得：

若n為奇數，則當x∈{}時S取到最小值；

若n為偶數，則當x∈[，]時，S取到最小值；

（3）|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|=|x﹣1|+2|x﹣|+3|x﹣|+…+10|x﹣|，

共55項，其中第28項為|x﹣|，

故x=時，|x﹣1|+|2x﹣1|+|3x﹣1|+…+|10x﹣1|取最小值：