Question

【題目】已知集合M是滿足下列性質的函數的全體：在定義域內存在，使函數成立；

（1）請給出一個的值，使函數

（2）函數是否是集合M中的元素？若是，請求出所有組成的集合；若不是，請說明理由；

（3）設函數,求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）=2；（2）是，（3）或

【解析】

（1）利用列不等式，由此求得的一個取值.

（2）假設存在符合題意，驗證，由此判斷出的所有可能取值.

（3）利用列不等式，對分成三種情況進行分類討論，由此求得的取值范圍.

（1）當時，依題意在定義域內存在，使函數成立，而，即，即，故可取，此時.

（2）假設存在符合題意，而，即，即，化簡得，解得.所以函數是集合M中的元素，且.

（3）由于函數，，由，得①，.

當時，①成立.

當時，①的左邊為負數，右邊為正數，即①成立.

當時，①可化為，也即存在，使②成立.

當時，顯然存在，使②成立；

當時，②化為,顯然存在，使②成立.

當，即時，不等式對應的一元二次方程，開口向下，且判別式，由于，所以，所以不存在，使②成立.

綜上所述，實數的取值范圍是或.