Question

【題目】設函數,其中為實數.

（1）若在上是單調減函數, 且在上有最小值, 求的取值范圍；

（2）若在上是單調增函數, 試求的零點個數, 并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（１）；（２）當或時，有個零點，當時,有個零點，證明見解析．

【解析】

試題分析：（１）求導數，利用在上是單調減函數，轉化為在上恒成立，利用在上有最小值，結合導數知識，即可求得結論；（２）先確定的范圍，再分類討論，確定的單調性，從而可得的零點個數．

試題解析：（1）在上恒成立, 則,故.,

若,則在上恒成立, 此時, 在上是單調增函數,

無最小值, 不合；若,則在上是單調減函數, 在上是單調增函數,

,滿足. 故的取值范圍.

（2）在上恒成立, 則,故.

①若, 令得增區間為；令得減區間為,

當時, ；當時, ；當時,,

當且僅當時取等號. 故:時, 有個零點；當時, 有個零點.

②若,則,易得 有個零點；

③若,則在上恒成立, 即：在上是單調增函數,

當時, ；當時, . 此時, 有個零點.

綜上所述：當或時, 有個零點；故時, 有個零點.