Question

【題目】已知項數(shù)為的數(shù)列滿足如下條件：①；②若數(shù)列滿足其中則稱為的“伴隨數(shù)列”.

（I）數(shù)列是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”；若不存在，請說明理由；

（II）若為的“伴隨數(shù)列”，證明：；

（III）已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”且求的最大值.

Answer 1

【答案】（I）不存在，理由見解析；（II）詳見解析；（III）.

【解析】

（I）根據(jù)“伴隨數(shù)列”的定義判斷出正確結(jié)論.

（II）利用差比較法判斷出的單調(diào)性，由此證得結(jié)論成立.

（III）利用累加法、放縮法求得關(guān)于的不等式，由此求得的最大值.

（I）不存在.理由如下：因為，所以數(shù)列不存在“伴隨數(shù)列”.

（II）因為，

又因為，所以，所以，即，所以成立.

（III），都有，因為，，

所以，所以.

因為，

所以.

而，即，

所以，故.

由于，經(jīng)驗證可知.所以的最大值為.