Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

（Ⅱ）若在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（I）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex+x-1，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率，再由點(diǎn)斜式即可得切線方程，分別求出切線與x軸、y軸的交點(diǎn)A、B，利用直角三角形的面積公式即可求得；
（II）將f（x）≥x2在（0，1）上恒成立利用參變量分離法轉(zhuǎn)化為在（0，1）上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)研究不等式右邊的函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值，即可求出a的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）∵當(dāng)時(shí)， ， ，

， ，

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，

即．

設(shè)切線與軸的交點(diǎn)分別為，

令得， ，令得， ，

∴， ，∴，

∴函數(shù)在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為．

（Ⅱ）由得， ．

令，

則 ，

令，則．

∵，∴， 在區(qū)間上為減函數(shù)，∴．

又， ，∴，

∴在區(qū)間上為增函數(shù)， ，

因此只需即可滿足題意．