Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，nan+1﹣（n+1）an=1（n∈N+）
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若 ，求數(shù)列{bn}的最大項．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知式可化為 ．

則當(dāng)n≥2時， ﹣ = ﹣ ，

﹣ = ﹣ ，

…

﹣ =1﹣ ，

以上各式相加： ﹣ =1﹣ ，

整理得：an=2n﹣1，

當(dāng)n=1時，顯然成立，

∴數(shù)列{an}的通項公式an=2n﹣1；（n∈N+）

（2）解：由 ，則bn=n×（ ）n，n∈N+，

設(shè)g（x）=x（ ）x，x＞0，求導(dǎo)g′（x）=（ ）x+x（ ）xln（ ），

令g′（x）=0，解得：x=﹣ ，8＜﹣ ＜9，

由g（x）在（0，﹣ ）單調(diào)遞增，在（﹣ ，+∞）單調(diào)遞減，

且 ，

∴數(shù)列{bn}的單調(diào)性得最大項為

【解析】（1）由 ．采用累加法即可求得數(shù)列{an}的通項公式；（2）由（1）可知bn=n×（ ）n ， n∈N+ ， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得數(shù)列{bn}的最大項．
【考點精析】掌握數(shù)列的通項公式是解答本題的根本，需要知道如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．