Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2ax+a2﹣1．
（1）若對任意的x∈R均有f（1﹣x）=f（1+x），求實數a的值；
（2）當x∈[﹣1，1]時，求f（x）的最小值，用g（a）表示其最小值，判斷g（a）的奇偶性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x2+2ax+a2﹣1對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，

∴函數的對稱軸x=﹣a=1，

∴a=﹣1

（2）解：∵f（x）=x2+2ax+a2﹣1=（x+a）2﹣1，其對稱軸為x=﹣a，

當﹣a≤﹣1時，即a≥1時，函數f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，故g（a）=f（x）min=f（﹣1）=a2﹣2a，

當﹣1＜﹣a＜1時，即﹣1＜a＜1時，故g（a）=f（x）min=f（a）=﹣1，

當﹣a≥1時，即a≤﹣1時，函數f（x）在[﹣1，1]上單調遞減，故g（a）=f（x）min=f（1）=a2+2a，

∴g（a）= ，

∵g（﹣a）=g（a），

∴g（a）為偶函數

【解析】1、由二次函數的性質可得對任意的實數x都有f（1+x）=f（1﹣x）成立，函數的對稱軸x=﹣a=1，∴a=﹣1。
2、由二次函數的圖象和性質，當﹣a≤﹣1時，即a≥1時，函數f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，故g（a）=f（x）min=f（﹣1）=a2﹣2a

當﹣1＜﹣a＜1時，即﹣1＜a＜1時，故g（a）=f（x）min=f（a）=﹣1，當﹣a≥1時，即a≤﹣1時，函數f（x）在[﹣1，1]上單調遞減，故g（a）=f（x）min=f（1）=a2+2a，得出函數的解析式，由偶函數定義可證。

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最值及其幾何意義的相關知識，掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．