Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x∈[0，+∞）時，f（x）=2x+x﹣m（m為常數）．
（1）求常數m的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）若對于任意x∈[﹣3，﹣2]，都有f（k4x）+f（1﹣2x+1）＞0成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數，且定義域為R；

∴f（0）=0；

∵當x≥0時，f（x）=2x+x﹣m（m為常數）；

∴f（0）=1﹣m，∴1﹣m=0；

∴m=1

（2）解：由（1）知，m=1；

∴當x≥0時，f（x）=2x+x﹣1；

設x＜0，則﹣x＞0，且f（x）為奇函數，所以：

f（﹣x）=2﹣x﹣x﹣1=﹣f（x）；

∴f（x）=﹣2﹣x+x+1；

∴

（3）解：因為當x變大時，2x變大，x﹣1變大，所以2x+x﹣1的值也變大；

所以f（x）在[0，+∞）上是增函數且左端點為原點；

因為，f（x）是奇函數，且f（0）=0；

所以f（x）在（﹣∞，0）上也是增函數，且右端點是原點；

所以f（x）在R上是增函數；

∵f（x）是奇函數；

∴f（k4x）+f（1﹣2x+1）＞0等價于f（k4x）＞﹣f（1﹣2x+1），等價于f（k4x）＞f（﹣1+2x+1）；

∵f（x）在R上是增函數；

∴f（k4x）＞f（﹣1+2x+1）等價于k4x＞﹣1+2x+1；

∵4x＞0∴k4x＞﹣1+2x+1等價于 ；

∴f（k4x）+f（1﹣2x+1）＞0對x∈[﹣3，﹣2]恒成立等價于 ；

設y= ；

∴ = ；

x∈[﹣3，﹣2]，∴ ；

∴ 時，y取最大值﹣8；

∴k＞﹣8；

即實數k的取值范圍為（﹣8，+∞）．

【解析】1、本題考查的是奇函數的定義，且定義域為R∴f（0）=0，再由特殊之法求得m=1。
2、當x≥0時，f（x）=2x+x﹣1；x＜0，則﹣x＞0，且f（x）為奇函數，所以f（﹣x）=2﹣x﹣x﹣1=﹣f（x）∴f（x）=﹣2﹣x+x+1；即得函數的解析式。
3、由增函數的定義可得f（x）在R上是增函數∵f（x）是奇函數可得f（k4x）＞f（﹣1+2x+1），根據增減性可得不等式k4x＞﹣1+2x+1 ∴f（k4x）+f（1﹣2x+1）＞0對x∈[﹣3，﹣2]恒成立，整理得， x ∈ [ 3 ， 2 ].整理得,x∈[﹣3，﹣2]，
∴ x ∈ [ 4 ， 8 ] ，當=4時，y取最大值﹣8∴k＞﹣8
【考點精析】本題主要考查了函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．