Question

已知函數f(x)=(x²+ax+2)e^x,(x,a∈R).
(1)當a=0時，求函數f(x)的圖象在點A(1，f(1))處的切線方程；
(2)若函數y=f(x)為單調函數，求實數a的取值范圍;
(3)當時，求函數f(x)的極小值.

Answer 1

(1) 5ex-y-2e="0" (2) ［-2,2］ (3)

試題分析：f′(x)=e^x［x²+(a+2)x+a+2］
(1)當a=0時，f(x)=(x²+2)e^x,f′(x)=e^x(x²+2x+2),f(1)=3e,
f′(1)=5e,
∴函數f(x)的圖象在點A(1，f(1))處的切線方程為y-3e=5e(x-1),即5ex-y-2e=0.
(2)f′(x)=e^x［x²+(a+2)x+a+2］,
考慮到e^x>0恒成立且x²系數為正.
∴f(x)在R上單調等價于x²+(a+2)x+a+2≥0恒成立.
∴(a+2)²-4(a+2)≤0.
解得-2≤a≤2,即a的取值范圍是［-2,2］,
(3)當時，f(x)=,
f′(x)=
令f′(x)=0,得或x=1.
令f′(x)>0,得或x>1.
令f′(x)<0，得
x，f′(x)，f(x)的變化情況如下表

所以，函數f(x)的極小值為
點評：注意極值與最值的區別和聯系：最大值是極值與邊界值中最大的函數值，最小值是極值與邊界值中最小的函數值