Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）．
（1）設bn=an+1+an（n∈N+），求證{bn}是等比數列；
（2）（i）求數列{an}的通項公式；
（ii）求證：對于任意n∈N+都有 + +…+ + ＜ 成立．

Answer 1

【答案】
（1）證明：已知數列{an}滿足：a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an﹣1（n≥2，n∈N+）．

則：an+1+an=3（an+an﹣1）

即： ，

所以： ，

數列{bn}是等比數列．

（2）解：（i）由于數列{bn}是等比數列．

則： ，

整理得：

所以：

則： 是以（ ）為首項，﹣1為公比的等比數列．

所以：

求得：

（ii）由于： ，

所以： ，

則：（1）當n為奇數時， ，

當n為偶數時， ，

所以： = …+ +

，

所以：n∈k時，對任意的k都有 恒成立

【解析】（1）利用已知條件對已知的數列關系式進行恒等變形，進一步的出數列是等比數列．（2）（i）根據（1）的結論進一步利用恒等變換，求出數列的通項公式．（ii）首先分奇數和偶數分別寫出通項公式，進一步利用放縮法進行證明．
【考點精析】本題主要考查了等比關系的確定和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．