Question

【題目】定義在上的奇函數(shù)有最小正周期，且時(shí)，.

（1）求在上的解析式；

（2）判斷在上的單調(diào)性，并給予證明；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于方程在上有實(shí)數(shù)解？

Answer 1

【答案】（1）；（2）在單調(diào)遞減；

（3）或或.

【解析】

試題（1）可設(shè)，則,由時(shí)，可求，再由奇函數(shù)的性質(zhì)可求

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可

（3）轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在上的值域，結(jié)合（2）可先求在上的值域，然后結(jié)合奇函數(shù)的對(duì)稱性可求在上的值域

試題解析：（1）設(shè)，則

∵時(shí)，，

由函數(shù)為奇函數(shù)可得，，∴，∵，

又因?yàn)楹瘮?shù)是周期為4的為奇函數(shù)，，，

（2）設(shè)，令，

則

∵，∴，

∴函數(shù)在單調(diào)遞增，且，

∴在單調(diào)遞減

（3）由（2）可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，

由奇函數(shù)的對(duì)稱性可得，時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∵關(guān)于方程在上有實(shí)數(shù)解，或或