Question

【題目】己知函數.

（1)試討論f（x）的單調性；

(2)若函數有且只有三個不同的零點，分別記為x1，x2，x3，設x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當m≤0時，函數在區間(0，+∞)上單調遞增；當m>0時， 函數在(0，)上單調遞增，函數在(，+∞)上單調遞減；（2）.

【解析】

（1）求出函數的導數，對m分類討論，解得導函數大于0及小于0的范圍，即可得到單調性．

（2）由條件可將問題轉化函數y=m的圖象與函數的圖象有兩個交點.分析可得0<x1<e，x3>e．令，則t∈．由，解得 構造，t∈，利用導函數轉化求解即可．

（1）函數的定義域為(0，+∞).

由已知可得．

當m≤0時，>0，故在區間(0，+∞)上單調遞增；

當m>0時，由>0，解得；由 0，解得．

所以函數在(0，)上單調遞增，在(，+∞)上單調遞減.

綜上所述，當m≤0時，函數在區間(0，+∞)上單調遞增；

當m>0時， 函數在(0，)上單調遞增，

函數在(，+∞)上單調遞減.

（2）∵ 函數g(x)=(x-e)(lnx-mx)有且只有三個不同的零點，

顯然x=e是其零點，

∴ 函數存在兩個零點，即有兩個不等的實數根．

可轉化為方程在區間(0，+∞)上有兩個不等的實數根，

即函數y=m的圖象與函數的圖象有兩個交點.

∵ ，

∴ 由>0，解得，故在上單調遞增；

由<0，解得x>e，故在(e，+∞)上單調遞減；

故函數y=m的圖象與的圖象的交點分別在(0，e)，(e，+∞)上，

即lnx-mx=0的兩個根分別在區間(0，e)，(e，+∞)上，

∴ g(x)的三個不同的零點分別是x1，e，x3，且0<x1<e，x3>e．

令，則t∈．

由，解得

故，t∈．

令，則．

令，則．

所以在區間上單調遞增，即>．

所以，即在區間上單調遞增，

即≤=，

所以，即x1x3≤，

所以x1x3的最大值為．