Question

【題目】如圖，已知線段AB長度為a（a為定值），在其上任意選取一點M，在AB的同一側分別以AM、MB為底作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是這兩個正方形的外接圓，它們交于點M、N．試以A為坐標原點，建立適當的平面直角坐標系．

（1）證明：不論點M如何選取，直線MN都通過一定點S；
（2）當 時，過A作⊙Q的割線，交⊙Q于G、H兩點，在線段GH上取一點K，使 = 求點K的軌跡．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以A為坐標原點，AB為x軸正方向，建立平面直角坐標系．

設M（m，0），則：A（0，0），B（a，0），C（m，m），F（m，a﹣m），

， ，

⊙P方程為： ，即：x2+y2﹣mx﹣my=0 ①，

⊙Q方程為： 即：x2+y2﹣（a+m）x﹣（a﹣m）y+am=0 ②．

①﹣②得，公共弦MN所在直線方程：ax+（a﹣2m）y﹣am=0．

整理得：（ax+ay）+m（﹣2y﹣a）=0，

∴MN恒過定點 ；

（2）解：當 時， ，

⊙Q： ，即： ．

設G（x1，y1），H（x2，y2），K（x，y），GH所在直線斜率為k，

則： ， ， ，

由題意， ，即： ．

把y=kx代入⊙Q方程，得： ，

由韋達定理得： ， ，

∴ ，將 代入整理，得：2x+y﹣a=0．

∴點K的軌跡是直線2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一條線段．

【解析】（1）以A為坐標原點，AB為x軸正方向，建立平面直角坐標系，求出圓P、圓Q的方程，由圓系方程求得MN所在直線方程，再由直線系方程可得直線MN都通過一定點；（2）由題意求出M的坐標，得到圓Q的方程，設G（x1 ， y1），H（x2 ， y2），K（x，y），GH所在直線斜率為k，由 = ，可得 ，整理后代入根與系數的關系可得點K的軌跡是直線2x+y﹣a=0被⊙Q所截的一條線段．