Question

【題目】已知橢圓： 的左焦點和上頂點在直線上， 為橢圓上位于軸上方的一點且軸， 為橢圓上不同于的兩點，且．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線與軸交于點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）根據題意及即可求出橢圓方程；（2）根據題意AN,AM斜率互為相反數，設出AM直線方程，聯立橢圓方程求出M點橫坐標，用換，得N的橫坐標，得出，設MN直線方程，聯立得一元二次方程，有解即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）依題意得橢圓的左焦點為，上頂點為，

故，所以，

所以橢圓的標準方程為.

（2）設直線的斜率為，因為，所以關于直線對稱，

所以直線的斜率為，

易知，所以直線的方程是，

設，

聯立，消去，得，

所以，

將上式中的換成，得，

所以，

所以直線的方程是，

代入橢圓方程，得，

所以，解得，

又因為在點下方，所以，

所以.